perencanaan pendidikan matematika

Kompetensi adalah karakteristik yang mendasari seseorang mencapai kinerja tinggi dalam pekerjaannya. Karakteristik itu muncul dalam bentuk pengetahuan, keterampilan dan perilaku. Selama ini yang banyak diperbincangkan adalah pengetahuan dan keterampilan, yang ternyata bukan merupakan jaminan keberhasilan. Faktor lain yang harus diperhatikan adalah perilaku.
Sebagaimana selama ini IQ (intellectual quotient) dikenal sebagai faktor penentu, lalu muncul EQ (emotional quotient) dan SQ (spiritual quotient) justru diyakini lebih menentukan keberhasilan. Faktor pengetahuan dan keterampilan tetap merupakan prasyarat yang harus dipenuhi. Namun yang tidak kalah penting adalah faktor yang selama ini tidak kelihatan, yaitu konsep diri, motif, dan sifat-sifat. Pada gilirannya hal yang tak kelihatan ini muncul sebagai perilaku (kompetensi perilaku).Contoh perilaku sebagai kompetensi adalah kemampuan adaptasi atau fleksibilitas menghadapi perubahan, pengambilan keputusan, membangun team-work, komunikasi, kemampuan belajar terus menerus, inisiatif, orientasi pelayanan pelanggan, dan lain-lain.

Aplikasi
Memiliki SDM yang kompeten adalah keharusan bagi perusahaan. Mengelola SDM berdasarkan kompetensi diyakini bisa lebih menjamin keberhasilan mencapai tujuan. Sebagian besar perusahaan memakai kompetensi sebagai dasar dalam memilih orang, mengelola kinerja, pelatihan dan pengembangan serta pemberian kompensasi. Proses rekrutmen dan seleksi diarahkan untuk mencari orang yang mendekati model kompetensinya, demikian pula halnya untuk pengembangan kinerja dan karier karyawan.



Didasari oleh visi matematika sebagai bidang studi, yaitu (a) merupakan ilmu bantu, sehingga pemahaman konsep matematika haruslah ditujukan untuk penyelesaian masalah matematika dan ilmu lainnya; (b) merupakan alat untuk mengembangkan :
kognitif, yaitu nalar yang logis, sistematis, kritis, dan cermat;
afektif, yaitu sikap ulet, obyektif, dan terbuka.
Dengan demikian hakekat pendidikan matematika pada prinsipnya membantu peserta didik agar berpikir kritis, bernalar efektif, efisien, bersikap ilmiah, disiplin, bertanggung jawab, berjiwa keteladanan, percaya diri disertai dengan iman dan takwa.
Hakekat pendidikan matematika seperti pendidikan matematika seperti di atas akan terwujud jika didukung oleh seperangkat kompetensi, yaitu kompetensi dasar pendidikan matematika, kompetensi profesional, dan kompetensi akademik guru matematika.
Sejalan dengan visi matematika yang mengarahkan pada dua pengembangan, yaitu untuk memenuhi kebutuhan masa kini dan kebutuhan masa datang, maka pendidikan matematika dititipi seperangkat misi dalam bentuk paket-paket kompetensi.
Kompetensi merupakan pengetahuan, keterampilan, dan nilai-nilai dasar yang direfleksikan dalam kebiasaan berpikir dan bertindak.
Kebiasaan berpikir dan bertindak secara konsisten dan terus menerus memungkinkan seseorang menjadi kompeten dalam arti memiliki pengetahuan, keterampilan, dan nilai-nilai dasar untuk melakukan sesuatu. Dasar pemikiran untuk menggunakan konsep kompetensi dalam kurikulum adalah sebagai berikut:
(1) Kompetensi berkenaan dengan kemampuan siswa melakukan sesuatu dalam berbagai konteks.
(2) Kompetensi menjelaskan pengalaman belajar yang dilalui siswa untuk menjadi kompeten
(3) Kompeten merupakan hasil belajar (learning outcomes) yang menjelaskan hal-hal yang dilakukan siswa setelah melalui proses pembelajaran.
(4) Kehandalan kemampuan siswa melakukan sesuatu harus didefinisikan secara jelas dan luas dalam suatu standar yang dapat dicapai melalui kinerja yang dapat diukur
Implementasi pendidikan matematika di sekolah mengacu pada seperangkat kurikulum. Saat ini, kurikulum yang dikembangkan adalah Kurikulum Berbasis Kompetensi. Struktur Kompetensi dasar Kurikulum Berbasis Kompetensi ini dirinci dalam komponen aspek, kelas dan semester. Keterampilan dan pengetahuan dalam setiap mata pelajaran, disusun dan dibagi menurut aspek dari mata pelajaran tersebut.
Kompetensi dasar merupakan pernyataan minimal atau memadai tentang pengetahuan, keterampilan, sikap dan nilai-nilai yang direfleksikan dalam kebiasaan berpikir dan bertindak setelah siswa menyelesaikan suatu aspek atau subaspek mata pelajaran tertentu. Pernyataan hasil belajar ditetapkan untuk setiap aspek rumpun pelajaran pada setiap level. Perumusan hasil belajar adalah untuk menjawab pertanyaan, “Apa yang harus siswa ketahui dan mampu lakukan sebagai hasil belajar mereka pada level ini?”. Hasil belajar: Mencerminkan keluasan, kedalaman, dan kompleksitas kurikulum dinyatakan dengan kata kerja yang dapat diukur dengan berbagai teknik penilaian.
Setiap hasil belajar memiliki seperangkat indikator. Perumusan indikator adalah untuk menjawab pertanyaan, “Bagaimana kita mengetahui bahwa siswa telah mencapai hasil belajar yang diharapkan?”. Guru akan menggunakan indikator sebagai dasar untuk menilai apakah siswa telah mencapai hasil belajar seperti yang diharapkan. Indikator bukan berarti dirumuskan dengan rentang yang sempit, yaitu tidak dimaksudkan untuk membatasi berbagai aktivitas pembelajaran siswa, juga tidak dimaksudkan untuk menentukan bagaimana guru melakukan penilaian. Misalkan, jika indikator menyatakan bahwa siswa mampu menjelaskan konsep atau gagasan tertentu, maka ini dapat ditunjukkan dengan kegiatan menulis, presentasi, atau melalui kinerja atau melakukan tugas lainnya.
PENGEMBANGAN SILABUS
Posted by edywihardjo on Feb 26, 2009 in Perencanaan Pembelajaran |
Subscribe
A. Pengertian Silabus
Silabus adalah rencana pembelajaran pada suatu dan/atau kelompok mata pelajaran/tema tertentu yang mencakup standar kompetensi , kompetensi dasar, materi pokok/pembelajaran, kegiatan pembelajaran, indikator pencapaian kompetensi untuk penilaian, penilaian, alokasi waktu, dan sumber belajar.
B. Prinsip Pengembangan Silabus
1. Ilmiah
Keseluruhan materi dan kegiatan yang menjadi muatan dalam silabus harus benar dan dapat dipertanggungjawabkan secara keilmuan.
2. Relevan
Cakupan, kedalaman, tingkat kesukaran dan urutan penyajian materi dalam silabus sesuai dengan tingkat perkembangan fisik, intelektual, sosial, emosional, dan spritual peserta didik.
3. Sistematis
Komponen-komponen silabus saling berhubungan secara fungsional dalam mencapai kompetensi.
4. Konsisten
Adanya hubungan yang konsisten (ajeg, taat asas) antara kompetensi dasar, indikator, materi pokok/pembelajaran, pengalaman belajar, sumber belajar, dan sistem penilaian.
5. Memadai
Cakupan indikator, materi pokok/pembelajaran, pengalaman belajar, sumber belajar, dan sistem penilaian cukup untuk menunjang pencapaian kompetensi dasar.
6. Aktual dan Kontekstual
Cakupan indikator, materi pokok, pengalaman belajar, sumber belajar, dan sistem penilaian memperhatikan perkembangan ilmu, teknologi, dan seni mutakhir dalam kehidupan nyata, dan peristiwa yang terjadi.
7. Fleksibel
Keseluruhan komponen silabus dapat mengakomodasi keragaman peserta didik, pendidik, serta dinamika perubahan yang terjadi di sekolah dan tuntutan masyarakat.
8. Menyeluruh
Komponen silabus mencakup keseluruhan ranah kompetensi (kognitif, afektif, psikomotor).
C. Unit Waktu Silabus
1. Silabus mata pelajaran disusun berdasarkan seluruh alokasi waktu yang disediakan untuk mata pelajaran selama penyelenggaraan pendidikan di tingkat satuan pendidikan.
2. Penyusunan silabus memperhatikan alokasi waktu yang disediakan per semester, per tahun, dan alokasi waktu mata pelajaran lain yang sekelompok.
3. Implementasi pembelajaran per semester menggunakan penggalan silabus sesuai dengan Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar untuk mata pelajaran dengan alokasi waktu yang tersedia pada struktur kurikulum. Bagi SMK/MAK menggunakan penggalan silabus berdasarkan satuan kompetensi.
D. Pengembang Silabus
Pengembangan silabus dapat dilakukan oleh para guru secara mandiri atau berkelompok dalam sebuah sekolah/madrasah atau beberapa sekolah, kelompok Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP) pada atau Pusat Kegiatan Guru (PKG), dan Dinas Pendikan.
1. Disusun secara mandiri oleh guru apabila guru yang bersangkutan mampu mengenali karakteristik peserta didik, kondisi sekolah/madrasah dan lingkungannya.
2. Apabila guru mata pelajaran karena sesuatu hal belum dapat melaksanakan pengembangan silabus secara mandiri, maka pihak sekolah/madrasah dapat mengusahakan untuk membentuk kelompok guru mata pelajaran untuk mengembangkan silabus yang akan digunakan oleh sekolah/madrasah tersebut.
3. Di SD/MI semua guru kelas, dari kelas I sampai dengan kelas VI, menyusun silabus secara bersama. Di SMP/MTs untuk mata pelajaran IPA dan IPS terpadu disusun secara bersama oleh guru yang terkait.
4. Sekolah/Madrasah yang belum mampu mengembangkan silabus secara mandiri, sebaiknya bergabung dengan sekolah-sekolah/madrasah-madrasah lain melalui forum MGMP/PKG untuk bersama-sama mengembangkan silabus yang akan digunakan oleh sekolah-sekolah/madrasah-madrasah dalam lingkup MGMP/PKG setempat.
5. Dinas Pendidikan/Departemen yang menangani urusan pemerintahan di bidang agama setempat dapat memfasilitasi penyusunan silabus dengan membentuk sebuah tim yang terdiri dari para guru berpengalaman di bidangnya masing-masing.
E. Langkah-langkah Pengembangan Silabus
1. Mengkaji Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar
Mengkaji standar kompetensi dan kompetensi dasar mata pelajaran sebagaimana tercantum pada Standar Isi, dengan memperhatikan hal-hal berikut:
a. urutan berdasarkan hierarki konsep disiplin ilmu dan/atau tingkat kesulitan materi, tidak harus selalu sesuai dengan urutan yang ada di SI;
b. keterkaitan antara standar kompetensi dan kompetensi dasar dalam mata pelajaran;
c. keterkaitan antara standar kompetensi dan kompetensi dasar antarmata pelajaran.
2. Mengidentifikasi Materi Pokok/Pembelajaran
Mengidentifikasi materi pokok/pembelajaran yang menunjang pencapaian kompetensi dasar dengan mempertimbangkan:
a. potensi peserta didik;
b. relevansi dengan karakteristik daerah,
c. tingkat perkembangan fisik, intelektual, emosional, sosial, dan spritual peserta didik;
d. kebermanfaatan bagi peserta didik;
e. struktur keilmuan;
f. aktualitas, kedalaman, dan keluasan materi pembelajaran;
g. relevansi dengan kebutuhan peserta didik dan tuntutan lingkungan; dan
h. alokasi waktu.
3. Mengembangkan Kegiatan Pembelajaran
Kegiatan pembelajaran dirancang untuk memberikan pengalaman belajar yang melibatkan proses mental dan fisik melalui interaksi antarpeserta didik, peserta didik dengan guru, lingkungan, dan sumber belajar lainnya dalam rangka pencapaian kompetensi dasar. Pengalaman belajar yang dimaksud dapat terwujud melalui penggunaan pendekatan pembelajaran yang bervariasi dan berpusat pada peserta didik. Pengalaman belajar memuat kecakapan hidup yang perlu dikuasai peserta didik.
Hal-hal yang harus diperhatikan dalam mengembangkan kegiatan pembelajaran adalah sebagai berikut.
a. Kegiatan pembelajaran disusun untuk memberikan bantuan kepada para pendidik, khususnya guru, agar dapat melaksanakan proses pembelajaran secara profesional.
a. Kegiatan pembelajaran memuat rangkaian kegiatan yang harus dilakukan oleh peserta didik secara berurutan untuk mencapai kompetensi dasar.
b. Penentuan urutan kegiatan pembelajaran harus sesuai dengan hierarki konsep materi pembelajaran.
b Rumusan pernyataan dalam kegiatan pembelajaran minimal mengandung dua unsur penciri yang mencerminkan pengelolaan pengalaman belajar siswa, yaitu kegiatan siswa dan materi.
4. Merumuskan Indikator Pencapaian Kompetensi
Indikator merupakan penanda pencapaian kompetensi dasar yang ditandai oleh perubahan perilaku yang dapat diukur yang mencakup sikap, pengetahuan, dan keterampilan.
Indikator dikembangkan sesuai dengan karakteristik peserta didik, mata pelajaran, satuan pendidikan, potensi daerah dan dirumuskan dalam kata kerja operasional yang terukur dan/atau dapat diobservasi. Indikator digunakan sebagai dasar untuk menyusun alat penilaian.
5. Penentuan Jenis Penilaian
Penilaian pencapaian kompetensi dasar peserta didik dilakukan berdasarkan indikator. Penilaian dilakukan dengan menggunakan tes dan non tes dalam bentuk tertulis maupun lisan, pengamatan kinerja, pengukuran sikap, penilaian hasil karya berupa tugas, proyek dan/atau produk, penggunaan portofolio, dan penilaian diri.
Penilaian merupakan serangkaian kegiatan untuk memperoleh, menganalisis, dan menafsirkan data tentang proses dan hasil belajar peserta didik yang dilakukan secara sistematis dan berkesinambungan, sehingga menjadi informasi yang bermakna dalam pengambilan keputusan.
Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam penilaian.
a. Penilaian diarahkan untuk mengukur pencapaian kompetensi.
b. Penilaian menggunakan acuan kriteria; yaitu berdasarkan apa yang bisa dilakukan peserta didik setelah mengikuti proses pembelajaran, dan bukan untuk menentukan posisi seseorang terhadap kelompoknya.
c. Sistem yang direncanakan adalah sistem penilaian yang berkelanjutan. Berkelanjutan dalam arti semua indikator ditagih, kemudian hasilnya dianalisis untuk menentukan kompetensi dasar yang telah dimiliki dan yang belum, serta untuk mengetahui kesulitan peserta didik.
d. Hasil penilaian dianalisis untuk menentukan tindak lanjut. Tindak lanjut berupa perbaikan proses pembelajaran berikutnya, program remedi bagi peserta didik yang pencapaian kompetensinya di bawah kriteria ketuntasan, dan program pengayaan bagi peserta didik yang telah memenuhi kriteria ketuntasan.
e. Sistem penilaian harus disesuaikan dengan pengalaman belajar yang ditempuh dalam proses pembelajaran. Misalnya, jika pembelajaran menggunakan pendekatan tugas observasi lapangan maka evaluasi harus diberikan baik pada proses (keterampilan proses) misalnya teknik wawancara, maupun produk/hasil melakukan observasi lapangan yang berupa informasi yang dibutuhkan.
6. Menentukan Alokasi Waktu
Penentuan alokasi waktu pada setiap kompetensi dasar didasarkan pada jumlah minggu efektif dan alokasi waktu mata pelajaran per minggu dengan mempertimbangkan jumlah kompetensi dasar, keluasan, kedalaman, tingkat kesulitan, dan tingkat kepentingan kompetensi dasar. Alokasi waktu yang dicantumkan dalam silabus merupakan perkiraan waktu rerata untuk menguasai kompetensi dasar yang dibutuhkan oleh peserta didik yang beragam.
7. Menentukan Sumber Belajar
Sumber belajar adalah rujukan, objek dan/atau bahan yang digunakan untuk kegiatan pembelajaran, yang berupa media cetak dan elektronik, narasumber, serta lingkungan fisik, alam, sosial, dan budaya.
Penentuan sumber belajar didasarkan pada standar kompetensi dan kompetensi dasar serta materi pokok/pembelajaran, kegiatan pembelajaran, dan indikator pencapaian kompetensi.



Pengembangan RPP - Presentation Transcript
1. PENGEMBANGAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
2. LANDASAN RPP Perencanaan proses pembelajaran meliputi silabus dan rencana pelaksanaan pembelajaran yang memuat sekurang-kurangnya tujuan pembelajaran, materi pembelajaran, metode pe mbel ajaran, sumber belajar, dan penilaian hasil belajar PP NO 19 TAHUN 2005 Pasal 20
3. PENGERTIAN RPP Rencana pelaksanaan pembelajaran (RPP) adalah rencana yang menggambarkan prosedur dan pengorganisasian pembelajaran untuk mencapai satu kompetensi dasar yang ditetapkan dalam Standar Isi dan telah dijabarkan dalam silabus. Lingkup Rencana Pembelajaran paling luas mencakup 1 (satu) kompetensi dasar yang terdiri atas 1 (satu) atau beberapa indikator untuk 1 (satu) kali pertemuan atau lebih.
4. ALUR RPP SILABUS RPP SK dan KD
5. KOMPONEN RPP (minimal)
o Tujuan Pembelajaran
o Materi Pembelajaran
o Metode P embelajaran
o Sumber Belajar
o Penilaian Hasil Belajar
6. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Mata Pelajaran : … Kelas/Semester : … Pertemuan Ke- : … Alokasi Waktu : … Standar Kompetensi : … Kompetensi Dasar : … Indikator : … I. Tujuan Pembelajaran : … II. Materi Ajar : … V. Alat/Bahan/Sumber Belajar: … III. Metode Pembelajaran: … VI. Penilaian: …
o IV. Langkah-langkah Pembelajaran
 Pertemuan pertama,
 Kegiatan Awal: …
 Kegiatan Inti: …
 Kegiatan Akhir: …
 Pertemuan kedua, dst.
Format RPP
7.
 Mengisi kolom identitas
 Menentukan alokasi waktu yang dibutuhkan untuk pertemuan yang telah ditetapkan
 Menentukan SK, KD, dan Indikator yang akan digunakan ( terdapat pada silabus yang telah disusun )
 Merumuskan tujuan pembelajaran berdasarkan SK, KD, dan Indikator yang telah ditentukan. (Lebih rinci dari KD dan Indikator, pada saat-saat tertentu rumusan indikator sama dengan tujuan pembelajaran, karena indikator sudah sangat rinci sehingga tidak dapat dijabarkan lagi.)
Langkah-langkah Menyusun RPP
8.
 5. Mengidentifikasi materi ajar berdasarkan materi pokok/ pembelajaran yang terdapat dalam silabus. Materi ajar merupakan uraian dari materi pokok/pembelajaran
 6. Menentukan metode pembelajaran yang akan digunakan
 7. Merumuskan langkah-langkah pembelajaran yang terdiri dari kegiatan awal, inti, dan akhir.
Langkah-langkah Menyusun RPP
9.
 8. Menentukan alat/bahan/ sumber belajar yang digunakan
 9. Menyusun kriteria penilaian, lembar pengamatan, contoh soal, teknik penskoran, dll

dari dan untuk matematika

Nim : 070839

Fak/prodi : FKIP/ Matematika untirta.//

Sesuai dengan teori thorndrike tentang stimulus-respon, maka sebelum memulai pembelajaran kita rangsang motivasi siswa untuk belajar matematika dengan cerita dan permainan yang berhubungan dengan angka (matematika).

Berikut ini adalah sedikit cerita dan permainan untuk merangsang motivasi siswa untuk belajar matematika:

Cerita matematika:

1.Suatu hari, hapidz siswa sekolah dasar menghadapi soal ulangan matematika disekolahnya. Isi soal tersebut adalah perkalian angka sembilan dari 1 sampai sepuluh, seperti dibawah ini:

1 x 9 =

2 x 9 =

3 x 9 =

4 x 9 =

5 x 9 =

6 x 9 =

7 x 9 =

8 x 9 =

9 x 9 =

10 x 9 =

karna hapidz terkenal tidak pandai, maka ia bingung bukan kepalang.. akhirnya ia dengan keputus asaannya menjawab soal tersebut seperti ini:

1. ia mengurutkan angka dari 0 sampai angka 9 dari atas sampai kebawah.
2. ia mengurutkan lagi dari atas sampai bawah, tetapi dimulai dari angka 9 sampai angka 0.

Besoknya, hapidz melihat hasil ulangannya dengan nilai sempurna yaitu 10. karna inilah hasil jawaban hapidz;

1 x 9 = 0 9

2 x 9 = 1 8

3 x 9 = 2 7

4 x 9 = 3 6

5 x 9 = 4 5

6 x 9 = 5 4

7 x 9 = 6 3

8 x 9 = 7 2

9 x 9 = 8 1

10 x 9 = 9 0

Sungguh benar-benar beruntung hapidz, ternyata jawabannya memang benar semua,… hehe,……

2. seekor katak, dapat melompat sejauh 0,5 meter dengan sekali melompat.

Ternyata didepan katak tersebut membentang sungai yang kedalaman airnya 3 meter dan lebar sungai tersebut adalah 6,5 meter. Katak itu harus menyebrangi sungai tersebut untuk sampai ketepian sungai diseberang sungai.

Pertanyaannya, berapa kali katak tersebut harus melompat agar sampai ketepian sungai diseberang sungai tersebut?

Jawab : Pertanyaan yang sederhana tapi menjebak untuk anak sd atau smp. Karna jawaban yang benar adalah satu kali melompat, karna setelah sekali melompat katak tersebut berenang untuk menuju tepian seberang sungai,.. hehe….

Berikutnya adalah keunikan angka:

1. guru memberikan beberapa pertanyaan, yaitu sebagai berikut:

1² =

11² =

111² =

1111² =

11111² =

111111² =

Dst,,,,

2. guru menyuruh murid untuk menjawab kedepan dengan menggunakan alat Bantu hitung yaitu kalkulator untuk menjawab soal tersebut.
3. guru menulis jawban tersebut di papan tulis dengan urutan spt ini:

1² = 1

11² = 121

111² = 12321

1111² = 1234321

11111² = 123454321

111111² = 12345654321

Dst,….

Sungguh angka yang unik dan menarik,… hehe,,, silahkan di coba,…

Demikian yang dapat saya tuliskan disini, semoga teman-teman guru dan calon guru dapat lebih kreatif dalam mengolah permainan ataupun cerita matematika untuk diterapkan didalam kelas nanti. Dan untuk dosen strategi belajar mengajar semoga dapat berkenan dan memberikan apresiasinya. Amin..

Uas sbm 2008

1. jel. Prinsip penilaian dlm pemb mtk yang sebenarnya dalam pendekatan kontekstual?
2. bagaimana pengembangan rencana pemb mtk dengan pendekatan open-ended?
3. jel. Tujuan dan peranan guru dlm pemb. Mtk dengan metode penemuan?
4. jel. Bergam aspek kemampuan siswa yang diharapkan dapat dicapai melalui pendekatan berdasarkan masalah?
5. jel. Kelemahan dalam pemb kooperatif?
6. jel. pemb mtk relistik?
7. jel. tujuan dan peranan guru dalam tutor sebaya?

Model-model Pembelajaran:

Problem Based Intruction (PBI)

Pembelajaran Berbasis Masalah adalah pembelajaran di mana siswa mengerjakan masalah otentik untuk menyusun (menemukan) pengetahuan mereka sendiri, mengembangkan inkuiri dan keterampilan tingkat tinggi, mengembangkan kemandirian percaya diri.

Ibrahim (2000) menyatakan pembelajaran berbasis masalah dikembangkan untuk membantu siswa mengembangkan kemampuan berpikir, pemecahan masalah, dan keterampiulan intelektual, belajar berbagai peran orang dewasa melalui keterlibatan mereka dalam pengalaman nyata atau stimulus, dan menjadikan mereka sebagai pebelajar yang otonom dan mandiri.

Contextual Teaching And Learning (CTL)

CTL (pembelajaran kontektual) adalah konsep belajar yang membantu guru mengaitkan antara materi yang diajarkan dengan situasi dunia nyata dan mendorong siswa menghubungkan pengetahuan yang dimiliki dangan penerapanyya dalam kehidupan sehari-hari, dengan melibatkan 7 komponen utamanya, yakni: konstruktisme, bertanya, inkuiri, masyarakat belajar, pemodelan, dan penilaian otentik.

Secara garis besar langkah-langkah penerapan CTL di dalam kelas adalah sebagai berikut: 1) kembangkan pemikiran anak akan belajar lebih bermakna dengan bekerja sendiri, menemukan sendiri, mengkonstruksi sendiri pengetahuan dan keterampilan barunya, 2) Lakukan secara optimal kegiatan inkuiri untuk berbagai topik, 3) Rangsang dan kembangkan rasa ingin tahu dengan melakukan berbagai pertanyaan, 4) Kndisikan manyarakat belajar dengan membentuk kelompok-kelompok, 5) Munculkan suatu model (pemodelan) sebagai contoh belajar, 6) lakukan refleksi dan penguatan di akhir pertemuan, dan 7) lakukan penilaian yang sebanarnya (otentik) dengan menampilkan berbagai macam tes.

Pembelajaran kooperatif merupakan model pembelajaran yang mengutamakan adanya kerja sama, yakni kerja sama antar siswa dalam kelompok untuk mencapai tujuan pembelajaran (Johnson dan Johnson dalam Ismail, 2002: 12).

Macamnya:

• Pembelajaran kooperatif tipe NHT merupakan salah satu tipe pembelajaran kooperatif yang menekankan pada struktur-struktur khusus yang dirancang untuk mempengaruhi pola-pola interaksi siswa dalam memiliki tujuan untuk meningkatkan penguasaan isi akademik.
• TGT adalah salah satu tipe pembelajaran kooperatif yang menempatkan siswa dalam kelompok - kelompok belajar yang beranggotakan 5 sampai 6 orang siswa yang memiliki kemampuan, jenis kelamin dan suku kata atau ras yang berbeda. Guru menyajikan materi, dan siswa bekerja dalam kelompok mereka masing - masing.
• Type Jigsaw adalah tipe pembelajaran kooperatif yang dikembangkan oleh Elliot Aronson’s. Model pembelajaran ini didesain untuk meningkatkan rasa tanggung jawab siswa terhadap pembelajarannya sendiri dan juga pembelajaran orang lain.
• STAD adalah Model pembelajaran yang dikembangkan oleh Slavin dan kawan-kawan di Universitas John Hopkins ini menitikberatkan pada pemberian motivasi kepada sekelompok siswa agar dapat berinteraksi dalam kelompoknya. Hal penting yang harus diperhatikan dalam setiap pelaksanaan STAD ini adalah pemilihan anggota kelompok. Heterogenitas harus menjadi dasar utama dalam setiap pemilihan anggota suatu kelompok.

Tutor sebaya Merupakan Pengajaran melalui kelompok yang dipimpin oleh satu pengajar (Tutor), dimana tutor tersebut adalah siswa yang memiliki kriteria sbb:

· Memiliki kemampuan akademis diatas rata-rata siswa satu kelas.

· mampu menjalin kerjasama dengan sesama siswa.

· memiliki motivasi tinggi untuk membuat kelompok diskusinya sebagai yang terbaik.

· bersikap rendah hati, bijaksana, dan bertanggung jawab.

· suka membantu sesamanya yang kesulitan

Remedial Merupakan Bentuk pengajaran yang bermaksud memperbaiki kesulitan belajar siswa yang diarahkan pada pencapaian hasil belajar yang optimal sesuai dengan kemampuan siswa

Open-ended Yaitu pembelajaran yang membangun kegiatan interaktif antara matematika dengan siswa sehingga mengundang siswa untuk menjawab permasalahan melalui berbagai strategi

Pembelajaran langsung adalah strategi pembelajaran yang dirancang untuk mengajarkan pengetahuan deklaratif dan pengetahuan prosedural yang diajarkan setahap demi setahap. Ciri khas pembelajaran ini adalah modeling, yaitu suatu fase dimana seorang guru memodelkan atau mencontohkan melalui demonstrasi bagaimana suatu keterampilan itu dilakukan pada saat guru melakukan modeling, siswa melakukan pengamatan terhadap keterampilan yang dimodelkan itu, selanjutnya siswa diberi kesempatan untuk meniru model yang dilakukan oleh guru melalui kesempatan latihan di bawah bimbingan guru. Model pembelajaran langsung merupakan model yang kadar berpusat pada gurunya paling tinggi, dan paling sering digunakan. Pada strategi ini termasuk di dalamnya metode-metode ceramah, ekspositori, serta demonstrasi.

Menurut Dave Meier pembelajaran dengan pendekatan SAVI adalah pembelajaran yang menggabungkan gerakan fisik dengan aktifitas intelektual dan penggunaan semua indra yang dapat berpengaruh besar pada pembelajaran.

• Somatis : belajar dengan bergerak dan berbuat.
• Auditori : belajar dengan berbicara dan mendengar.
• Visual : belajar dengan mengamati (melihat) dan menggambarkan.
• Intelektual : belajar dengan memecahkan masalah dan merenung (berfikir).

Menurut Ruseffendi (2006: 329) metode Discovery Learning adalah metode mengajar yang mengatur pengajaran sedemikian rupa sehingga anak memperoleh pengetahuan yang sebelumnya belum diketahuinya tanpa pemberitahuan langsung; sebagian atau seluruhnya ditemukan sendiri.Dalam Discovery Learning, siswa dapat membuat sebuah konjektur, merumuskan sebuah hipotesis, atau menemukan sebuah kebenaran matematika dengan menggunakan induktif dan deduktif proses, observasi dan perhitungan.

inquiry adalah suatu perluasan proses-proses discovery yang digunakan dalam cara yang lebih dewasa. Sebagai tambahan pada proses-proses discovery, ínquiry mengandung proses-proses mental yang lebih tinggi tingkatannya, misalnya merumuskan problem, merancang eksperimen, melakukan eksperimen, mengumpulkan dan menganalisis data, menarik kesimpulan.

Menurut Poerwadarminta (1983) pembelajaran tematik adalah pembelajaran terpadu yang menggunakan tema untuk mengaitkan beberapa mata pelajaran sehingga dapat memberikan pengalaman bermakna kepada siswa. Tema adalah pokok pikiran atau gagasan pokok yang menjadi pokok pembicaraan.

Quantum learning adalah kiat, petunjuk, strategi, dan sluruh proses belajar yang dapat mempertajam pemahaman dan daya ingat serta membuat belajar sebagai suatu proses yang menyenangkan dan bermanfaat.

A). keterampilan dasar mengajar

1. keterampilan membuka dan menutup pelajaran

Dimaksudkan untuk melihat mental siswa dan membuat minat dan perhatian siswa tertuju pada mata pelajaran yang akan kita berikan.

2. keterampilan bertanya

Dimaksudkan untuk mengetahui sejauh mana partisipasi, minat, rasa ingin tahu siswa terhadap mata pelajaran dan mengukur pola pikir siswa.

3. keterampilan memberikan penguatan

Penguatan disini yaitu penguatan yang positif dan membangun siswa untuk lebih bisa dalm menangkap materi ajar.

4. keterampilan mengadakan variasi

agar siswa tidak bosan menghadapi situasi pembelajaran dalam kelas, maka perlu diadakan variasi dalam mengajar seperti gaya mengajar, penggunaan media alat ajar, dan pola pembelajaran dalam kelas

5. keterampilan menjelaskan

yaitu agar siswa dapat memahami konsep, hukum , prinsip materi dan membimbing mereka untuk dapat mengasah potensi diri siswa.

6. keterampilan membimbing diskusi kecil

7. keterampilan mengelola kelas

yaitu untuk menyadari keberadaan siswa dan mendorong siswa untuk aktif dalam belajar.

8. keterampilan mengajar kelompok kecil dan perseorangan.

B). Aliran psikologi pembelajaran matematika

1. psikologi tingkah laku

a. teori thondrike

”belajar akan berhasil jika respon siswa terhadap suatu stimulus diikuti dengan rasa senang” ia mengenalkan 3 hukum belajar yaitu hukum kesiapan, latihan dan akibat.

b. teori skiner

”penguatan mempunyai peranan yang amat penting dalam proses belajar”.

c. teori aussebel

”belajar bermakna dan pengulangan ssebelum belajar dimulai.

d. teori gagne

”ada dua objek yang dapat diperoleh siswa yaitu objek langsung dan tak langsung”.

e. teori paplov

”belajar akan berhasil jika melalui kebiasaan”.

f. Teori baruda

”siswa belajar dari apa yang ia lihat dan dengar yaitu meniru”.

g. teori aliran mental

”latihan yang membutuhkan daya otak yang tinggi”.

2. psikologi kognitif

a. teori peaget

”struktur kognitif siswa terdiri atas skemata (skema-skema)”

Yaitu tahap sensori motor , pra operasi, operasi kongkret, dan operasi formal.

b. teori bruner

”belajar metematika akan berhasil jika proses pengajaran diarahkan pada konsep-konsep dan struktur-strukturyang termuat dalam pokok bahasan yang diajarkan”.

c. teori gestal

”perhatian guru tantang materi, metode , dan pengelolaan kelas”.

d. teori brownel

”belajar makna dan pengertian”.

e. teori dieness

”tahap perkembangan anak”.

f. teori van hiele

”5 tahap perkembangan anak dalam pembelajaran geometri”.

C. prinsip-prinsip belajar

1. motivasi yaitu dorongan hati untuk lebih baik.

2. balikan yaitu respon siswa untuk menanggapi semua stimulus dari guru yang mengajar.

3. aktifitas yaitu keaktifan siswa dalam kelas dangan mengacu pada materi yang diajarkan.

4. perbedaan individu yaitu kemampuan siswa dalam menangkap pelajaran pasti tidak akan sama.

5. perhatian yaitu siswa mengikuti dan mencerna setiap materi yang diajarkan oleh guru.

D. 4 pilar pendidikan

1. learn to know.Peserta didik paham materi untuk lanjut kemateri lain.

2. learn to do. peserta didik dapat berbuat sebagaimana mestinya.

3. learn to give together / to live wich other Peserta didik dapat beradaptasi dengan sekitar dan dapat bekerja sama.

4. learn to be Peserta didik dapat mengembangkan poetensi dirinya sehingga menjadi manusia bulat dan utuh.

KUBUS YANG TERBUAT DARI 6 LIMAS SEGI 4

nIM : 070839

KELAS : 4B

TUGAS : STRATEGI BELAJAR MENGAJAR (SBM)

Saya berpendapat bahwa “sebuah kubus dapat dibentuk dari enam buah limas segi empat yang tinggi keenam limas tersebut adalah sama yaitu setengah dari panjang setiap sisi limas tersebut”. Maka saya mencoba membuat alat peraga tersebut dan pendapat saya itu terbukti dengan alat peraga yang telah selesai saya buat.

Tetapi saya belum dapat membuktikan kesamaan untuk hal lainnya seperti volume dan lain-lainnya, mudah-mudahan semua yang terlah melihat ini dapat termotivasi dan mengembangkan alat peraga ini. Amin..

Cara membuat:

1. buat jarring-jaring limas sebanyak enam buah. Dengan tinggi limas tersebut harus sama yaitu setengah dari panjang sisi segi empat dari limas tersebut.
2. karna kubus yang saya buat sebesar 12 cm maka tinggi dari limas tersebut haruslah setengahnya yaitu 6 cm.
3. lalu buat jarring-jaring kubusnya dan kita bentuklah limas-limas tersebut menjadi sebuah kubus.

Tidak rumit dan sangat gampang dan mudah-mudahan bermanfaat. Aminn..

Tangerang,14 juni 2009

TEORI BELAJAR VAN HIELE

A. Pendahuluan

Dua tokoh pendidikan matematika dari Belanda, yaitu Pierre Van Hiele dan isterinya, Dian Van Hiele-Geldof, pada tahun-tahun 1957 sampai 1959 mengajukan suatu teori mengenai proses perkembangan yang dilalui siswa dalam mempelajari geometri. Dalam teori yang mereka kemukakan, mereka berpendapat bahwa “dalam mempelajari geometri para siswa mengalami perkembangan kemampuan berpikir melalui tahap-tahap tertentu”.

B. Tingkat kognitif / tahap berpikir menurut Van Hiele

Tahapan berpikir atau tingkat kognitif yang dilalui siswa dalam pembelajaran geometri, menurut Van Hiele adalah sebagai berikut:

Level 0. Tingkat Visualisasi

Tingkat ini disebut juga tingkat pengenalan. Pada tingkat ini, siswa memandang sesuatu bangun geometri sebagai suatu keseluruhan (wholistic). Pada tingkat ini siswa belum memperhatikan komponen-komponen dari masing-masing bangun. Dengan demikian, meskipun pada tingkat ini siswa sudah mengenal nama sesuatu bangun, siswa belum mengamati ciri-ciri dari bangun itu. Sebagai contoh, pada tingkat ini siswa tahu suatu bangun bernama persegipanjang, tetapi ia belum menyadari ciri-ciri bangun persegipanjang tersebut.

Level 1. Tingkat Analisis

Tingkat ini dikenal sebagai tingkat deskriptif. Pada tingkat ini siswa sudah mengenal bangun-bangun geometri berdasarkan ciri-ciri dari masing-masing bangun. Dengan kata lain, pada tingkat ini siswa sudah terbiasa menganalisis bagian-bagian yang ada pada suatu bangun dan mengamati sifat-sifat yang dimiliki oleh unsur-unsur tersebut

Sebagai contoh, pada tingkat ini siswa sudah bisa mengatakan bahwa suatu bangun merupakan persegipanjang karena bangun itu “mempunyai empat sisi, sisi-sisi yang berhadapan sejajar, dan semua sudutnya siku-siku”

Level 2. Tingkat Abstraksi

Tingkat ini disebut juga tingkat pengurutan atau tingkat relasional. Pada tingkat ini, siswa sudah bisa memahami hubungan antar ciri yang satu dengan ciri yang lain pada sesuatu bangun. Sebagai contoh, pada tingkat ini siswa sudah bisa mengatakan bahwa jika pada suatu segiempat sisi-sisi yang berhadapan sejajar, maka sisi-sisi yang berhadapan itu sama panjang. Di samping itu pada tingkat ini siswa sudahmemahami pelunya definisi untuk tiap-tiap bangun. Pada tahap ini, siswa juga sudah bisa memahami hubungan antara bangun yang satu dengan bangun yang lain. Misalnya pada tingkat ini siswa sudah bisa memahami bahwa setiap persegi adalah juga persegipanjang, karena persegi juga memiliki ciri-ciri persegipanjang.

Berikut ini merupakan contoh pekerjaan siswa pada level 2.

Level 3. Tingkat Deduksi Formal

Pada tingkat ini siswa sudah memahami perenan pengertian-pengertian pangkal, definisi-definisi, aksioma-aksioma, dan terorema-teorema dalam geometri. Pada tingkat ini siswa sudah mulai mampu menyusun bukti-bukti secara formal. Ini berarti bahwa pada tingkat ini siswa sudah memahami proses berpikir yang bersifat deduktif-aksiomatis dan mampu menggunakan proses berpikir tersebut.

Level 4. Tingkat Rigor

Tingkat ini disebut juga tingkat metamatematis. Pada tingkat ini, siswa mampu melakukan penalaran secara formal tentang sistem-sistem matematika (termasuk sistem-sistem geometri), tanpa membutuhkan model-model yang konkret sebagai acuan. Pada tingkat ini, siswa memahami bahwa dimungkinkan adanya lebih dari satu geometri.

Sebagai contoh, pada tingkat ini siswa menyadari bahwa jika salah satu aksioma pada suatu sistem geometri diubah, maka seluruh geometri tersebut juga akan berubah. Sehingga, pada tahap ini siswa sudah memahami adanya geometri-geometri yang lain di samping geometri Euclides.

Menurut Van Hiele, semua anak mempelajari geometri dengan melalui tahap-tahap tersebut, dengan urutan yang sama, dan tidak dimungkinkan adanya tingkat yang diloncati. Akan tetapi, kapan seseorang siswa mulai memasuki suatu tingkat yang baru tidak selalu sama antara siswa yang satu dengan siswa yang lain.

Selain itu, menurut Van Hiele, proses perkembangan dari tahap yang satu ke tahap berikutnya terutama tidak ditentukan oleh umur atau kematangan biologis, tetapi lebih bergantung pada pengajaran dari guru dan proses belajar yang dilalui siswa.
C. Implementasi teori Van Hiele dalam Pembelajaran
Untuk meningkatkan suatu tahap berpikir ke tahap berpikir yang lebih tinggi Van Hiele mengajukan pembelajaran yang melibatkan 5 fase (langkah), yaitu ; informasi (information), orientasi langsung (directed orientation), penjelasan (explication), orientasi bebas (free orientation), dan integrasi (integration).

Fase 1 : Informasi (information)

Pada awal fase ini, guru dan siswa menggunakan tanya jawab dan kegiatan tentang obyek-obyek yang dipelajari pada tahap berpikir yang bersangkutan. Guru mengajukan pertanyaan kepada siswa sambil melakukan observasi. Tujuan kegiatan ini adalah :

a. Guru mempelajari pengetahuan awal yang dipunyai siswa mengenai topik yang di bahas.

b. Guru mempelajari petunjuk yang muncul dalam rangka menentukan pembelajaran selanjutnya yang akan diambil.

Fase 2 : Orientasi langsung (directed orientation)

Siswa menggali topik yang dipelajari melalui alat-alat yang dengan cermat disiapkan guru. Aktifitas ini akan berangsur-angsur menampakkan kepada siswa struktur yang memberi ciri-ciri untuk tahap berpikir ini. Jadi, alat ataupun bahan dirancang menjadi tugas pendek sehingga dapat mendatangkan repon khusus.

Fase 3 : Penjelasan (explication)

Berdasarkan pengalaman sebelumnya, siswa menyatakan pandangan yang muncul mengenai struktur yang diobservasi. Di samping itu untuk membantu siswa menggunakan bahasa yang tepat dan akurat, guru memberi bantuan seminimal mungkin. Hal tersebut berlangsung sampai sistem hubungan pada tahap berpikir ini mulai tampak nyata.

Fase 4 : Orientasi bebas (free orientation)

Siswa mengahadapi tugas-tugas yang lebih komplek berupa tugas yang memerlukan banyak langkah, tugas-tugas yang dilengkapi dengan banyak cara, dan tugas-tugas open ended. Mereka memperoleh pengalaman dalam menemukan cara mereka sendiri, maupun dalam menyelesaikan tugas-tugas. Melalui orientasi diantara para siswa dalam bidang investigasi, banyak hubungan antara obyek-obyek yang dipelajari menjadi jelas.

Fase 5 : Integrasi (Integration)

Siswa meninjau kembali dan meringkas apa yang telah dipelajari. Guru dapat membantu dalam membuat sintesis ini dengan melengkapi survey secara global terhadap apa-apa yang telah dipelajari siswa. Hal ini penting tetapi, kesimpulan ini tidak menunjukkan sesuatu yang baru.

tugas kalkulus II 16 maret 2009

APLIKASI INTEGRAL

1. LUAS DAERAH BIDANG RATA

• Daerah diatas sumbu x.

Luas A(R) = ∫ f(x) dx dengan batas (a,b)

• Daerah dibawah sumbu y.

Luas A(R) = - ∫ f(x) dx dengan batas (a,b)

• Langkah-langkah yang membantu penyelesaian mencari luas:

1. gambarlah daerah yang bersangkutan

2. potonglah menjadi jalur-jalur tertentu

3. hampiri luas suatu jalur tertentu

4. jumlahkan luas aproksimasinya

5. ambillah limitnya

• daerah antara dua kurva.

1. potong

2. aproksimasi

3. integralkan

contoh soal!

1. Tentukan luas daerah z yang dibatasi oleh y=x³-3x²-x+3, dan antara x=-1 dan x=2,

Jawab:

Jika kita sketsakan dengan gambar fungsi diatas, didapatlah:

A(z)= ∫ (x³-3x²-x+3) dx dengan batas (-1,1)

- ∫ (x³-3x²-x+3) dx dengan batas (1,2)

= [x4/4 - x³-x²/2 +3] batas (-1,1) - [x4/4 - x³-x²/2 +3] batas (1,2)

= 4 – (-7/4)

= 23/4.

2. tentukan luas daerah R di bawah kurva y = x4-2x³+2 antara x= -1 dan x=2

jawab:

jika kita sketsakan grafik, maka;

A (R) = ∫(x4-2x³+2) dx dengan batas (-1,2)
= [ x5/5 - X4 /2 + 2X ] dengan batas (-1,2)
= (32/5 - 16/2 +4) - ( -1/5 -1/2 -2)
= 51/11

2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG: lempengan, cakram dan cincin.

• Metode cakram.

Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada satu bagian bidangyang terbagi oleh sebuah garis lurus tetap, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah tersebut ak

an membentuk sebuah benda putar. Garis yang tetap tersebut disebut sumbu putar.

∆V=∏(f(x))² ∆x

• Metode cincin.

Ada kalanya apabila sebuahbenda putar kita potong-potong tegak lurus pada benda putarnya, kita memperole

h sebuahcakram yang ditengah-tengah ada lubangnya. Daerah demikian disebut cincin.

∆V=∏(f(x)-1²) ∆x

Contoh soal!

Carilah volume benda putar dari y= 3+2x-x² dengan batas x=0 dan x=3, dengan memutar mengelilingi sumbu x?

jawab:

jika kita sketsakan,. Jawaban untuk pertanyaan a lebih mudah

menggunakan metode cakram.,. yaitu :

∆V=∏( 3+2x-x² )² ∆x

V = ∏ ∫ ( 3+2x-x² )² dx ............................dengan batas (0,3)

= ∏ ∫ ( 9 + 2x²+x4) dx ......................dengan batas (0,3)

= ∏ [ 4x + 4x³ ] ......................dengan batas (0,3)

= ∏ [ 24 + 108]

= 132 ∏.

aplikasi diferensial

1. MAKSIMUM DAN MINIMUM

Definisi :
andaikan S,daerah asal f,memuat titik c. kita katakan bahwa:
(i). f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c)≥f(x) untuk semua x di S;
(ii). f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤f(x) untuk semua x di s;
(iii). f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum;

teorema a :
(teorema eksistensi maks-min). jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

teorema b :
(teorema titik kritis). andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu:
(i) titik ujung dari I
(ii) titik stasioner dari f(f'(c) = 0);
(iii) titik singular dari f(f'(c) tidak ada);

mencari nilai ekstrim,prosedur sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I.

langkah 1. carilah titik-titik kritis dari f pada I.
langkah 2. hitunglah f pada setiap titik kritis. yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.

contoh soal !
penjelasan:

1. MAKSIMUM DAN MINIMUM

Definisi :
andaikan S,daerah asal f,memuat titik c. kita katakan bahwa:
(i). f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c)≥f(x) untuk semua x di S;
(ii). f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤f(x) untuk semua x di s;
(iii). f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum;

teorema a :
(teorema eksistensi maks-min). jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

teorema b :
(teorema titik kritis). andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu:
(i) titik ujung dari I
(ii) titik stasioner dari f(f'(c) = 0);
(iii) titik singular dari f(f'(c) tidak ada);

mencari nilai ekstrim,prosedur sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I.

langkah 1. carilah titik-titik kritis dari f pada I.
langkah 2. hitunglah f pada setiap titik kritis. yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.

Contoh soal !

Seorang petani mempunyai 80 meter kawat berduri untuk membuat tiga kandang persegi dan di satu sisi terdapat tembok sepanjang 100 meter. Maksimumlan kawat berduri tersebut sehingga luas maksimum.

Jawab:

Sketsakan gambar tesebut, hingga didapat:

4x+y = 80

y = 80 - 4x

luas total A = x.y

maka, A = 80x – 4x²

0<>

Maka yang dimaksimumkan adalah x [0,20].

dA/dx = 80 – 8x

x = 80/8 = 10 meter

dan y = 80 – 4(10) = 40 meter

2. KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN.

Definisi :

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka,tertutup,atau tidak satupun). Kita katakan bahwa:

(i). f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x¹ dan x² dalam I,

X¹

(ii). F adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

X¹f(x²)

(iii).f adalah monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I.

1. Turunan pertama dan kemonotonan.

Teorema A: (teorema kemonotonan).

Jika f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam I:

(i). jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.

(ii). Jika f’(x) <>

2. Turunan kedua dan kecekungan.

Teorema B: (teorema kecekungan).

Jika f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b).

(i). jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung keatas pada (a,b)

(ii). Jika f”(x) <>

3. titik balik.

Definisi :

Andaikan f kontinu pada c. lita anggap (c,f(c)) suatu titik balik dari grafik f, jika f cekung keatas pada satu sisi dan cekung kebawah pada sisi lainnya dari c.

Contoh soal!

tentukan dimana grafik dari fungsi yang diberikan naik,turun,cekung keatas dan cekung kebawah?

f(x) = x³-3x-1

Jawab!

f(x) = x³-3x-1

f’(x) = 3x²-3 atau 3 (x-1)(x+1)

f”(x) = 6x

maka jika kita buat garis bilangan menjadi :

+ 0 - 0 +

_______-1______1_______

Maka, didapatkan :

f naik pada (-∞,-1] dan [1, ∞).

f turun pada [-1,1]

- 0 +

_________0________

Didapat pula:

f cekung keatas pada (0,∞)

f cekung ke bawah pada (-∞,0)

3. MAKSIMUM dan MINIMUM LOKAL

Definisi :

Andaikan S, daerah asak f, memuat titk c. kita katakana bahwa:

(i). f(c) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c, sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) bagian dari S;

(ii). f(c) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) bagian dari S;

(iii). f(c) nilai ekstrim lokalf jika ia berupa nilai maksimum local atau minimum local.

Teorema A:( uji turunan pertama untuk ekstrim local)

Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

(i). jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) <>

(ii). jika f’(x) <> 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adlah nilai minimum local f.

(iii). jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nikai ekstrim local f.

Teorema B : (uji turunan kedua untuk ekstrim local).

Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik pad selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0.

(i). jika f” (c) (x-1) (x+1) 0, f(c) adlah nilai maksimum local f.

(ii). jika f” (c) > 0, f(c) adalah nilai minimum local f.

Contoh soal!

Cari nilai ekstrim local dari f(x) = x4 – 2x² + 3 (-∞,∞)

Jawab:

f(x) = x4 – 2x² + 3

f’(x) = 4x³ – 4x

= 4x (x-1) (x+1) x=1 dan x=-1

Jika kita uji dengan titik uji, maka,.

(x-1) (x+1) > 0 di (-∞,1) dan (1, ∞)

(x-1) (x+1) <>

Dan f(-1) = 1 dan f(3) = 3 adalah nilai min dan max lokal.

4. MASALAH MAKS-MIN LAINNYA.

Banyak masalah-masalah praktis dalam hidup ini yang dapat diselesaikan dengan diferensial.

Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian masalah-masalah tsb:

1. buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variable-variabel yang sesuai dengan besaran-besaran kunci.

2. tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus di maksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variable-variabel tsb.

3. gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghikangkan semua, kecuali satu dari variable-variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari suatu variable, misal x.

4. tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang.

5. tentukan titik-titik kritis ( titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner dimana dq/dx.

6. gunakan teorema untuk menentukan titik kritis mana yang memberikan maksimum.

Contoh soal!

Kawat 1800 meter akan dibuat mengitari stadion berbentuk persegi.. maksimumkanlah luasnya.

Jawab:

2x+2y=1800

y= 900-x

A= 900x-x² 0<900>

dA/dx = 900-2x

x= 900/2 = 450 meter

y= 900 – 450 = 450 meter

5. PENERAPAN EKONOMI.

C = f(x) = biya total

AC = f’(c) = biya marjinal

P(x) = total laba

P(x) = R(x) – C (x)

R(x) = pendapatan total.

Contoh soal!

Sebuah pabrik memperkirakan bahwa akan dapat menjual 100 satuan tiap minggu jika menetapkan harga Rp. 250000 dan penjualan akan meningkat sebanyak 20 satuan tiap penurunan harga Rp. 10000. expresikan harga p(x)?

Jawab:

X= 100 + (250000 – p(x))/ 100 . 20

P(x) = 250000 – (100 (x-100))/(20)

=250000 – 100x + 5000

=255000 – 100x

6. LIMIT DIKETAKHINGGAAN, LIMIT TAK TERHINGGA

Definisi :

(limit bila x –> ∞). Andaikan f terdefinisi pada (c,∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa lim x->∞ f(x) = L jika untuk masing-masing €>0, terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga

X > M => [ f(x) – L] < €

(limit bila x -> -∞). Andaikan f terdefinisi pada (-∞,c] untuk satu bilangan c. kita katakan bahwa lim x->-∞ f(x) = L jika untuk masing-masing €>0, terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga

X< m =""> [ f(x) – L] < €

(limit-limit tak-terhingga). kita katakan bahwa lim x->c+ f(x) = ∞ jika untuk masing-masing bilangan positif M, berpadanan suatu ð =>0 sedemikian sehingga

0<> f(x) > M.

Contoh soal!

Tentukan nilai limit

Lim x-) ∞ (3-2x)/(x+5)

Jawab:

Lim x-) ∞ (3-2x)/(x+5)

= 3-0/0+5

= 3/5

7. PENGGAMBARAN GRAFIK CANGGIH

Fungsi rasional.

Merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit untuk digrafikkan disbanding polinom. Kkhususnya, kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis dimanapun penyebut nol.

Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu.

1. periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakahada daerah di bidang yang dikecualikan.

2. uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal ( fungsi genap atau ganjil)

3. cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.

4. gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengtahui tempat-tempat grafik naik dan turun.

5. uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum local.

6. gunakan turunan ke duauntuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan titik-titik balik.

7. cari asimtot-asimtot.

Contoh soal!

Buatlah analisis fungsi berikut !

F(x) = x³-3x²

Jawab;

F(x) = x³-3x²

F’(x) = 3x²-6x

= 3x (x-2) x=2

Uji di titik uji, sehingga kita dapat:

F’(x) lebih dari = o di (3, ∞)

F’(x) kurang dari = o di (-∞,1)

Maka, f(1) = -2 adalah nilai minimum lokal

Dan f(x) = 0 adalah nilai maksimum lokal

8. TEOREMA NILAI RATA-RATA

Teorema A:

(teorema nilai rata-rata untuk turunan).

Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana:

f(b)-f(a) =f’(c)

b-a

atau,

f(b)-f(a) =f’(c)(b-a)

Teorema B:

Jika F’(x)=G’(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga

F(x)= G(x) + C

Untuk semua x dalam (a,b).

Contoh soal!

F(x) = x³-2x²-x-2 [1,3]. Carilah semua yang memenuhi teorema nilai rata-rata..

Jawab :

F(x) = x³-2x²-x-2

F’(x) = 3x²-4x-1

Dengan rumus: f(b)-f(a) =f’(c)

b-a

didapatlah = F(3) – f(1)/3-2

= 8-0/3-1 = 4.

Maka 3c²-4c-1=4

3c²-4c-5=0

Dengan rumus a,b,c didapat lah:

C1= (4- akar 76)/6

Dan

C2= (4+ akar 76)/6

B. APLIKASI INTEGRAL

1. LUAS DAERAH BIDANG RATA

2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG: lempengan, cakram dan cincin.

3. VOLUME BENDA PUTAR

4. PANJANG KURVA PADA BIDANG (kurva rata).

5. LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR.

6. KERJA

7. GAYA CAIRAN (fluida)

8. MOMEN, PUSAT MASSA

penjelasan:

1. LUAS DAERAH BIDANG RATA

• Daerah diatas sumbu x.

Luas A(R) = ∫ f(x) dx dengan batas (a,b)

• Daerah dibawah sumbu y.

Luas A(R) = - ∫ f(x) dx dengan batas (a,b)

• Langkah-langkah yang membantu penyelesaian mencari luas:

1. gambarlah daerah yang bersangkutan

2. potonglah menjadi jalur-jalur tertentu

3. hampiri luas suatu jalur tertentu

4. jumlahkan luas aproksimasinya

5. ambillah limitnya

• daerah antara dua kurva.

1. potong

2. aproksimasi

3. integralkan

contoh soal!

Tentukan luas daerah z yang dibatasi oleh y=x³-3x²-x+3, dan antara x=-1 dan x=2,

Jawab:

Jika kita sketsakan dengan gambar fungsi diatas, didapatlah:

A(z)= ∫ (x³-3x²-x+3) dx dengan batas (-1,1) - ∫ (x³-3x²-x+3) dx dengan batas (1,2)

= [x4/4 - x³-x²/2 +3] batas (-1,1) - [x4/4 - x³-x²/2 +3] batas (1,2)

= 4 – (-7/4)

= 23/4.

2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG: lempengan, cakram dan cincin.

• Metode cakram.

Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada satu bagian bidangyang terbagi oleh sebuah garis lurus tetap, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah tersebut akan membentuk sebuah benda putar. Garis yang tetap tersebut disebut sumbu putar.

∆V=∏(f(x))² ∆x

• Metode cincin.

Ada kalanya apabila sebuahbenda putar kita potong-potong tegak lurus pada benda putarnya, kita memperoleh sebuahcakram yang ditengah-tengah ada lubangnya. Daerah demikian disebut cincin.

∆V=∏(f(x)-1²) ∆x

Contoh soal!

Carilah volume benda putar dari y= 3+2x-x² dengan batas x=0 dan x=3, dengan memutar mengelilingi sumbu x?

jawab:

jika kita sketsakan,. Jawaban untuk pertanyaan a lebih mudah menggunakan metode cakram.,. yaitu :

∆V=∏( 3+2x-x² )² ∆x

V = ∏ ∫ ( 3+2x-x² )² dx ............................dengan batas (0,3)

= ∏ ∫ ( 9 + 2x²+x4) dx ......................dengan batas (0,3)

= ∏ [ 4x + 4x³ ] ......................dengan batas (0,3)

= ∏ [ 24 + 108]

= 132 ∏.

3. VOLUME BENDA PUTAR: kulit tabung.

• Metode kulit tabung.

Ada kalanya kita akan memotong-motongjalur yang vertical dan kemudian kita putar terhadap atau mengelilingi sumbu y. inilah yang dinamakan kulit tabung.

∆V=2∏x(f(x)) ∆x

Contoh soal!

Dengan soal yang sama dengan yang diatas, hanya saja fungsi diputar terhadap sumbu y?

Jawab!

∆V= 2∏x ( 3+2x-x² ) ∆x

V = 2∏ ∫ ( 3x+2x²-x³) dx ............................dengan batas (0,3)

= 2∏ ∫ ( 3 + 4x – 3x²) dx ......................dengan batas (0,3)

= 2∏ [ 3 + 12 -27 ]

= 2∏.-12

= -24∏.

4.PANJANG KURVA PADA BIDANG (kurva rata).

Definisi :

Sebuah kurva rata disebut mulus apabila kurva itu ditentukan oleh persamaan-persamaan x= f(t), y= g(t), a ≤ t ≤ b, dengan ketentuan bahwa turunan-turunan f’ dan g’ adalah kontinu pada [a,b] sedangkan f’ (t) dan g’ (t)tidak bersama-sama nol di selang (a,b).

Contoh soal!

Tentukan keliling lingkaran x² + y²= a²

Jawab:

Misal;

x= a cos t

y= a sin t

L= ∫ akar a²sin² t + a² cos² t .dt ................. 0 s/d 2∏

= ∫ a dt ................. 0 s/d 2∏

= [at] ................. 0 s/d 2∏

= 2∏a.

5. LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR.

A= 2∏(r1+r2/2)l = 2∏ (jari-jari)x(rusuk)

• Pemutaran melalui sumbu x.

A= lim ∑ 2∏y1 ∆si = ∫ 2∏y ds.

• Pemutaran melalui sumbu y.

A=∫ 2∏X ds

Contoh soal!

Tentukan luas permukaan benda putar apabila kurva y = akar x dengan interval 0 s/d 4

Diputar mengelilingi sumbu x?

Jawab:

F’(x)= 1/(2akarx)

A = 2∏∫ akar x . akar (4x +1/4x) dx ................ 0 s/d 4

= [∏. ¼.2/3 (4x+1) pangkat 3/2 ................. 0 s/d 4

= ∏/6 ( 17 pangkat 3/2 – 1 pangkat 3/2)

= 36,18.

6. KERJA

W=F.d

W= kerja

F= gaya konstan

d= jarak

atau

W=∫ F(x) dx

• Aplikasi pada pegas

Menurut hokum hooke yang berlakudalam fisika, gaya (F) yang diperlukan untuki menarik (menekan) pegas sejauh x satuan dari keadaan alami.

F(x) = k.x

() Aplikasi pada pemompaan cairan

1. letakkanlah gambar penampang dalam suatu titik kordinat.

2. buat sketsa yang berdimensi tiga.

3. buat pula sketsa pen\ampang berdimensi dua.

4. buat analogi dari pertanyaan tersebut.

Contoh soal!

Sebuah gaya sebesar 8 pon diperlukan untuk menarik sebuah pegas ½. Kaki melampaui panjang normal. Tentukan konstanta pegas tersebut?

Jawab:

F(x)= k.x

F(1/2) = 8

k. ½. = 8

k= 16

dan f(x) = 16 x.

7. GAYA CAIRAN (fluida)

F=∂h.A

F=gaya

∂= kepadatan

A=luas

h=tinggi

contoh soal!

Sebuah tong diletakkan terbalik dan diisi minyak dengan kepadatan ∂= 50 ton tiap kaki kubik. Bila tiap ujung ton berdiameter 8 kaki. Hitng gaya totalnya.?

Jawab:

F= ∂∫ (16-y²) pangkat ½ ( -2y dy) .........dengan batas -4 s/d 0

= ∂ [ 2/3 (16-y²) pangkat 3/2] .........dengan batas -4 s/d 0

=(50)(2/3)(16) pangkat 3/2.

= 2133 pon.

8. MOMEN, PUSAT MASSA

M=x.m

M = momen

X = jarak

m= massa

• distribusi massa pada suatu garis.

X bar = M/m = ∫ x∂(x) dx / ∫ ∂(x) dx

Catatan;

1. ingatlah rumus tersebut serupa dengan rumus untuk massa di sejumlah titik.

2. asumsikan bahwa penjumlahan momen-momen bagian kecil kawat untuk memperoleh momen seluruh kawat.

• Teorema pappus.

Apabila sebuah daerah R yang terletak pada sebuah bidang diputar melalui sebuah garis pada bidang tersebut yang tidak memotong daerah R, maka volumebenda putar yang dibentuk oleh R = luas daaerah R diklikan dengan keliling yang ditempuh oleh sentroid R tersebut.

Contoh soal!

Tentukan sentroid daerah yang dibatasi oleh kurva y= sin x, 0 s/d ∏ dan sumbu x?

Jawab:

ŷ= ∫ ½ sin x. sin x dx. Dengan batas 0 s/d ∏

∫ sin x dx

= ½ ∫sin² x dx

∫ sin x dx

= (½ . ∏/2) / 2

= 0,39.