Senin, 09 Maret 2009

aplikasi diferensial

1. MAKSIMUM DAN MINIMUM

Definisi :
andaikan S,daerah asal f,memuat titik c. kita katakan bahwa:
(i). f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c)
≥f(x) untuk semua x di S;
(ii). f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)
f(x) untuk semua x di s;
(iii). f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum;

teorema a :
(teorema eksistensi maks-min). jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

teorema b :
(teorema titik kritis). andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu:
(i) titik ujung dari I
(ii) titik stasioner dari f(f'(c) = 0);
(iii) titik singular dari f(f'(c) tidak ada);

mencari nilai ekstrim,prosedur sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I.

langkah 1. carilah titik-titik kritis dari f pada I.
langkah 2. hitunglah f pada setiap titik kritis. yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.

contoh soal !
penjelasan:

1. MAKSIMUM DAN MINIMUM

Definisi :
andaikan S,daerah asal f,memuat titik c. kita katakan bahwa:
(i). f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c)
≥f(x) untuk semua x di S;
(ii). f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)
f(x) untuk semua x di s;
(iii). f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum;

teorema a :
(teorema eksistensi maks-min). jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

teorema b :
(teorema titik kritis). andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu:
(i) titik ujung dari I
(ii) titik stasioner dari f(f'(c) = 0);
(iii) titik singular dari f(f'(c) tidak ada);

mencari nilai ekstrim,prosedur sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I.

langkah 1. carilah titik-titik kritis dari f pada I.
langkah 2. hitunglah f pada setiap titik kritis. yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.


Contoh soal !

Seorang petani mempunyai 80 meter kawat berduri untuk membuat tiga kandang persegi dan di satu sisi terdapat tembok sepanjang 100 meter. Maksimumlan kawat berduri tersebut sehingga luas maksimum.

Jawab:

Sketsakan gambar tesebut, hingga didapat:

4x+y = 80

y = 80 - 4x

luas total A = x.y

maka, A = 80x – 4x²

0<>

Maka yang dimaksimumkan adalah x [0,20].

dA/dx = 80 – 8x

x = 80/8 = 10 meter

dan y = 80 – 4(10) = 40 meter


2. KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN.

Definisi :

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka,tertutup,atau tidak satupun). Kita katakan bahwa:

(i). f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x¹ dan x² dalam I,

(ii). F adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

f(x²)

(iii).f adalah monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I.


  1. Turunan pertama dan kemonotonan.


Teorema A: (teorema kemonotonan).

Jika f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam I:

(i). jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.

(ii). Jika f’(x) <>


  1. Turunan kedua dan kecekungan.


Teorema B: (teorema kecekungan).

Jika f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b).

(i). jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung keatas pada (a,b)

(ii). Jika f”(x) <>

  1. titik balik.


Definisi :

Andaikan f kontinu pada c. lita anggap (c,f(c)) suatu titik balik dari grafik f, jika f cekung keatas pada satu sisi dan cekung kebawah pada sisi lainnya dari c.

Contoh soal!

tentukan dimana grafik dari fungsi yang diberikan naik,turun,cekung keatas dan cekung kebawah?

f(x) = x³-3x-1

Jawab!

f(x) = x³-3x-1

f’(x) = 3x²-3 atau 3 (x-1)(x+1)

f”(x) = 6x

maka jika kita buat garis bilangan menjadi :

+ 0 - 0 +

_______-1______1_______

Maka, didapatkan :

f naik pada (-∞,-1] dan [1, ∞).

f turun pada [-1,1]

- 0 +

_________0________


Didapat pula:

f cekung keatas pada (0,∞)

f cekung ke bawah pada (-∞,0)


3. MAKSIMUM dan MINIMUM LOKAL

Definisi :

Andaikan S, daerah asak f, memuat titk c. kita katakana bahwa:

(i). f(c) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c, sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) bagian dari S;

(ii). f(c) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) bagian dari S;

(iii). f(c) nilai ekstrim lokalf jika ia berupa nilai maksimum local atau minimum local.

Teorema A:( uji turunan pertama untuk ekstrim local)

Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

(i). jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) <>

(ii). jika f’(x) <> 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adlah nilai minimum local f.

(iii). jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nikai ekstrim local f.

Teorema B : (uji turunan kedua untuk ekstrim local).

Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik pad selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0.

(i). jika f” (c) (x-1) (x+1) 0, f(c) adlah nilai maksimum local f.

(ii). jika f” (c) > 0, f(c) adalah nilai minimum local f.


Contoh soal!

Cari nilai ekstrim local dari f(x) = x4 – 2x² + 3 (-∞,∞)

Jawab:

f(x) = x4 – 2x² + 3

f’(x) = 4x³ – 4x

= 4x (x-1) (x+1) x=1 dan x=-1

Jika kita uji dengan titik uji, maka,.

(x-1) (x+1) > 0 di (-∞,1) dan (1, ∞)

(x-1) (x+1) <>

Dan f(-1) = 1 dan f(3) = 3 adalah nilai min dan max lokal.


4. MASALAH MAKS-MIN LAINNYA.

Banyak masalah-masalah praktis dalam hidup ini yang dapat diselesaikan dengan diferensial.

Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian masalah-masalah tsb:

  1. buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variable-variabel yang sesuai dengan besaran-besaran kunci.

  2. tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus di maksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variable-variabel tsb.

  3. gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghikangkan semua, kecuali satu dari variable-variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari suatu variable, misal x.

  4. tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang.

  5. tentukan titik-titik kritis ( titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner dimana dq/dx.

  6. gunakan teorema untuk menentukan titik kritis mana yang memberikan maksimum.



Contoh soal!

Kawat 1800 meter akan dibuat mengitari stadion berbentuk persegi.. maksimumkanlah luasnya.

Jawab:

2x+2y=1800

y= 900-x

A= 900x-x² 0<900>

dA/dx = 900-2x

x= 900/2 = 450 meter

y= 900 – 450 = 450 meter


5. PENERAPAN EKONOMI.

C = f(x) = biya total

AC = f’(c) = biya marjinal

P(x) = total laba

P(x) = R(x) – C (x)

R(x) = pendapatan total.


Contoh soal!

Sebuah pabrik memperkirakan bahwa akan dapat menjual 100 satuan tiap minggu jika menetapkan harga Rp. 250000 dan penjualan akan meningkat sebanyak 20 satuan tiap penurunan harga Rp. 10000. expresikan harga p(x)?

Jawab:

X= 100 + (250000 – p(x))/ 100 . 20

P(x) = 250000 – (100 (x-100))/(20)

=250000 – 100x + 5000

=255000 – 100x


6. LIMIT DIKETAKHINGGAAN, LIMIT TAK TERHINGGA

Definisi :

(limit bila x –> ∞). Andaikan f terdefinisi pada (c,∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa lim x->∞ f(x) = L jika untuk masing-masing €>0, terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga

X > M => [ f(x) – L] < €


(limit bila x -> -∞). Andaikan f terdefinisi pada (-∞,c] untuk satu bilangan c. kita katakan bahwa lim x->-∞ f(x) = L jika untuk masing-masing €>0, terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga

X< m =""> [ f(x) – L] < €


(limit-limit tak-terhingga). kita katakan bahwa lim x->c+ f(x) = ∞ jika untuk masing-masing bilangan positif M, berpadanan suatu ð =>0 sedemikian sehingga

0<> f(x) > M.


Contoh soal!

Tentukan nilai limit

Lim x-) ∞ (3-2x)/(x+5)

Jawab:

Lim x-) ∞ (3-2x)/(x+5)

= 3-0/0+5

= 3/5


7. PENGGAMBARAN GRAFIK CANGGIH

Fungsi rasional.

Merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit untuk digrafikkan disbanding polinom. Kkhususnya, kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis dimanapun penyebut nol.


Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu.


  1. periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakahada daerah di bidang yang dikecualikan.

  2. uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal ( fungsi genap atau ganjil)

  3. cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.

  4. gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengtahui tempat-tempat grafik naik dan turun.

  5. uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum local.

  6. gunakan turunan ke duauntuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan titik-titik balik.

  7. cari asimtot-asimtot.


Contoh soal!

Buatlah analisis fungsi berikut !

F(x) = x³-3x²

Jawab;

F(x) = x³-3x²

F’(x) = 3x²-6x

= 3x (x-2) x=2

Uji di titik uji, sehingga kita dapat:

F’(x) lebih dari = o di (3, ∞)

F’(x) kurang dari = o di (-∞,1)

Maka, f(1) = -2 adalah nilai minimum lokal

Dan f(x) = 0 adalah nilai maksimum lokal


8. TEOREMA NILAI RATA-RATA

Teorema A:

(teorema nilai rata-rata untuk turunan).

Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana:

f(b)-f(a) =f’(c)

b-a

atau,

f(b)-f(a) =f’(c)(b-a)

Teorema B:

Jika F’(x)=G’(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga

F(x)= G(x) + C

Untuk semua x dalam (a,b).


Contoh soal!

F(x) = x³-2x²-x-2 [1,3]. Carilah semua yang memenuhi teorema nilai rata-rata..

Jawab :

F(x) = x³-2x²-x-2

F’(x) = 3x²-4x-1

Dengan rumus: f(b)-f(a) =f’(c)

b-a

didapatlah = F(3) – f(1)/3-2

= 8-0/3-1 = 4.

Maka 3c²-4c-1=4

3c²-4c-5=0

Dengan rumus a,b,c didapat lah:

C1= (4- akar 76)/6

Dan

C2= (4+ akar 76)/6


B. APLIKASI INTEGRAL

1. LUAS DAERAH BIDANG RATA

2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG: lempengan, cakram dan cincin.

3. VOLUME BENDA PUTAR

4. PANJANG KURVA PADA BIDANG (kurva rata).

5. LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR.

6. KERJA

7. GAYA CAIRAN (fluida)

8. MOMEN, PUSAT MASSA


penjelasan:

1. LUAS DAERAH BIDANG RATA

  • Daerah diatas sumbu x.

Luas A(R) = ∫ f(x) dx dengan batas (a,b)

  • Daerah dibawah sumbu y.

Luas A(R) = - ∫ f(x) dx dengan batas (a,b)

  • Langkah-langkah yang membantu penyelesaian mencari luas:

  1. gambarlah daerah yang bersangkutan

  2. potonglah menjadi jalur-jalur tertentu

  3. hampiri luas suatu jalur tertentu

  4. jumlahkan luas aproksimasinya

  5. ambillah limitnya

  • daerah antara dua kurva.

  1. potong

  2. aproksimasi

  3. integralkan



contoh soal!


Tentukan luas daerah z yang dibatasi oleh y=x³-3x²-x+3, dan antara x=-1 dan x=2,


Jawab:


Jika kita sketsakan dengan gambar fungsi diatas, didapatlah:

A(z)= ∫ (x³-3x²-x+3) dx dengan batas (-1,1) - ∫ (x³-3x²-x+3) dx dengan batas (1,2)

= [x4/4 - x³-x²/2 +3] batas (-1,1) - [x4/4 - x³-x²/2 +3] batas (1,2)

= 4 – (-7/4)

= 23/4.


2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG: lempengan, cakram dan cincin.

  • Metode cakram.

Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada satu bagian bidangyang terbagi oleh sebuah garis lurus tetap, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah tersebut akan membentuk sebuah benda putar. Garis yang tetap tersebut disebut sumbu putar.


∆V=∏(f(x))² ∆x


  • Metode cincin.

Ada kalanya apabila sebuahbenda putar kita potong-potong tegak lurus pada benda putarnya, kita memperoleh sebuahcakram yang ditengah-tengah ada lubangnya. Daerah demikian disebut cincin.


∆V=∏(f(x)-1²) ∆x


Contoh soal!


Carilah volume benda putar dari y= 3+2x-x² dengan batas x=0 dan x=3, dengan memutar mengelilingi sumbu x?


jawab:


jika kita sketsakan,. Jawaban untuk pertanyaan a lebih mudah menggunakan metode cakram.,. yaitu :


∆V=∏( 3+2x-x² )² ∆x

V = ∏ ∫ ( 3+2x-x² )² dx ............................dengan batas (0,3)

= ∏ ∫ ( 9 + 2x²+x4) dx ......................dengan batas (0,3)

= ∏ [ 4x + 4x³ ] ......................dengan batas (0,3)

= ∏ [ 24 + 108]

= 132 ∏.


3. VOLUME BENDA PUTAR: kulit tabung.

  • Metode kulit tabung.

Ada kalanya kita akan memotong-motongjalur yang vertical dan kemudian kita putar terhadap atau mengelilingi sumbu y. inilah yang dinamakan kulit tabung.


∆V=2∏x(f(x)) ∆x


Contoh soal!


Dengan soal yang sama dengan yang diatas, hanya saja fungsi diputar terhadap sumbu y?


Jawab!


∆V= 2∏x ( 3+2x-x² ) ∆x

V = 2∏ ∫ ( 3x+2x²-x³) dx ............................dengan batas (0,3)

= 2∏ ∫ ( 3 + 4x – 3x²) dx ......................dengan batas (0,3)

= 2∏ [ 3 + 12 -27 ]

= 2∏.-12

= -24∏.

4.PANJANG KURVA PADA BIDANG (kurva rata).

Definisi :

Sebuah kurva rata disebut mulus apabila kurva itu ditentukan oleh persamaan-persamaan x= f(t), y= g(t), a ≤ t ≤ b, dengan ketentuan bahwa turunan-turunan f’ dan g’ adalah kontinu pada [a,b] sedangkan f’ (t) dan g’ (t)tidak bersama-sama nol di selang (a,b).


Contoh soal!

Tentukan keliling lingkaran x² + y²= a²


Jawab:


Misal;

x= a cos t

y= a sin t


L= ∫ akar a²sin² t + a² cos² t .dt ................. 0 s/d 2∏

= ∫ a dt ................. 0 s/d 2∏

= [at] ................. 0 s/d 2∏

= 2∏a.


5. LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR.

A= 2∏(r1+r2/2)l = 2∏ (jari-jari)x(rusuk)


  • Pemutaran melalui sumbu x.


A= lim ∑ 2∏y1 ∆si = ∫ 2∏y ds.


  • Pemutaran melalui sumbu y.


A=∫ 2∏X ds



Contoh soal!


Tentukan luas permukaan benda putar apabila kurva y = akar x dengan interval 0 s/d 4

Diputar mengelilingi sumbu x?


Jawab:


F’(x)= 1/(2akarx)

A = 2∏∫ akar x . akar (4x +1/4x) dx ................ 0 s/d 4

= [∏. ¼.2/3 (4x+1) pangkat 3/2 ................. 0 s/d 4

= ∏/6 ( 17 pangkat 3/2 – 1 pangkat 3/2)

= 36,18.


6. KERJA


W=F.d

W= kerja

F= gaya konstan

d= jarak

atau

W=∫ F(x) dx


  • Aplikasi pada pegas

Menurut hokum hooke yang berlakudalam fisika, gaya (F) yang diperlukan untuki menarik (menekan) pegas sejauh x satuan dari keadaan alami.

F(x) = k.x

() Aplikasi pada pemompaan cairan


        1. letakkanlah gambar penampang dalam suatu titik kordinat.

        2. buat sketsa yang berdimensi tiga.

        3. buat pula sketsa pen\ampang berdimensi dua.

        4. buat analogi dari pertanyaan tersebut.


Contoh soal!

Sebuah gaya sebesar 8 pon diperlukan untuk menarik sebuah pegas ½. Kaki melampaui panjang normal. Tentukan konstanta pegas tersebut?

Jawab:

F(x)= k.x

F(1/2) = 8

k. ½. = 8

k= 16

dan f(x) = 16 x.

7. GAYA CAIRAN (fluida)

F=∂h.A

F=gaya

∂= kepadatan

A=luas

h=tinggi


contoh soal!

Sebuah tong diletakkan terbalik dan diisi minyak dengan kepadatan ∂= 50 ton tiap kaki kubik. Bila tiap ujung ton berdiameter 8 kaki. Hitng gaya totalnya.?

Jawab:

F= ∂∫ (16-y²) pangkat ½ ( -2y dy) .........dengan batas -4 s/d 0

= ∂ [ 2/3 (16-y²) pangkat 3/2] .........dengan batas -4 s/d 0

=(50)(2/3)(16) pangkat 3/2.

= 2133 pon.


8. MOMEN, PUSAT MASSA

M=x.m

M = momen

X = jarak

m= massa


  • distribusi massa pada suatu garis.


X bar = M/m = ∫ x∂(x) dx / ∫ ∂(x) dx


Catatan;

        1. ingatlah rumus tersebut serupa dengan rumus untuk massa di sejumlah titik.

        2. asumsikan bahwa penjumlahan momen-momen bagian kecil kawat untuk memperoleh momen seluruh kawat.

  • Teorema pappus.


Apabila sebuah daerah R yang terletak pada sebuah bidang diputar melalui sebuah garis pada bidang tersebut yang tidak memotong daerah R, maka volumebenda putar yang dibentuk oleh R = luas daaerah R diklikan dengan keliling yang ditempuh oleh sentroid R tersebut.


Contoh soal!

Tentukan sentroid daerah yang dibatasi oleh kurva y= sin x, 0 s/d ∏ dan sumbu x?

Jawab:

ŷ= ∫ ½ sin x. sin x dx. Dengan batas 0 s/d ∏

∫ sin x dx

= ½ ∫sin² x dx

∫ sin x dx

= (½ . ∏/2) / 2

= 0,39.





3 komentar: